Ряды высшая математика (решение задач и примеров)
Опубликовано: 16.08.2017
Задача 1
Вычислить определители:
;
.
Решение
,
Задача 2
Вычислить определитель:
.
Решение
Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца
.
Задача 3
Найти матрицу, обратную к матрице .
Решение
Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения :
Онлайн решение задач Математика Линал Курсовые работы
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Ответ: Обратная матрица имеет вид:
.
Задача 4
С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
Решение
Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим
Жириновский о математике Репетиторы отдыхают
.
Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем
.
Ответ: Ранг матрицы равен двум.
Задача 5
Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:
;
Решение
Вычислим главный определитель системы и вспомогательные определители , ,.
.
;
;
.
По формуле Крамера, получим
;
; .
Задача 6
Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.
Решение
Матрица и имеют вид
,
.
Их ранги равны . Система совместна. Выделим следующую подсистему
Считая и известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид
; ,
где , - могут принимать произвольные значения. Пусть , где Тогда ответом будет служить множество
Задача 7
Даны начало и конец вектора . Найти вектор и его длину.
Решение
Имеем , откуда или .
Далее , т.е. .
Задача 8
Даны вершины треугольника , и . Найти с точность до угол при вершине .
Решение
Задача сводится к нахождению угла между векторами и :
, ; . Тогда , .
Задача 9
Даны вершины треугольника , и . Вычислить площадь этого треугольника.
Решение
Так как площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , то . Найдем векторы и :
; ; .
Вычислим их векторное произведение:
,
,
Откуда
. Следовательно, (кв. ед.).
Задача 10
Даны вершины треугольной пирамиды , , и . Найти ее объем.
Решение
Имеем , и . Найдем векторное произведение
,
.
Этот вектор скалярно умножим на вектор :
.
Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:
.
Следовательно, объем:
, (куб. ед.).
Задача 11
Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .
Решение
За первую вершину примем (на результат это не влияет); следовательно,
,
,
,
.
, , ,
Ответ: - общее уравнение искомой прямой.
Задача 12
Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно и перпендикулярно прямой .
Решение
Найдем угловой коэффициент данной прямой: . Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен , а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:
1) параллельной: , - общее уравнение прямой, параллельной данной;
2) перпендикулярной: , - общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.
Задача 13
Найти расстояние между двумя параллельными прямыми и .
Решение
Выберем на одной из данных прямых точку . Пусть . Для определения координат точки на прямой одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём ; тогда , и . По формуле расстояния от точки до прямой находим:
; .
Задача 14
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
.
Решение
Проверим выполнение условий теоремы Лейбница
а)
б)
(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Имеем:
Тогда по признаку Даламбера:
, и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд сходится абсолютно.
а)
б) ,
следовательно ряд - сходится.
2) Пусть . Тогда . Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом . Имеем
.
Таким образом, ряд - расходится.
Ответ
Область сходимости ряда есть интервал .
Задача 15
Вычислить предел .
Решение
Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида , для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной , т.е. на :
,
так как при .
Задача 16
Вычислить придел
Решение
Т ак как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители
, где - его корни.
.
Задача 17
Вычислить предел .
Решение
Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:
.
Задача 18
Вычислить предел .
Решение
Легко убедиться, что и при .
Поэтому
.
Задача 19
Вычислить предел
Решение
Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим
.
Задача 20
Найти предел .
Решение
.
Задача 21
Продифференцировать функцию .
Решение
.
Задача 22
Вычислить при помощи дифференциала .
Решение
Пусть . Тогда . Обозначим: ; . Отсюда . Находим и .
.
Итак, .
Задача 23
Найти .
Решение
Подстановка в заданную функцию значения приводит к неопределенности вида . Применив правило Лопиталя, получим:
.
Задача 24
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение
1. Находим область определения функции:.
2. Находим производную функции: .
3. Находим критические точки, решая уравнение или . Критические точки , .
4. Область определения функции разбиваем критическими точками и на интервалы, в каждом из которых определяем знак , делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.
